高中數(shù)學(xué)教案大全
通過對排列、組合問題求解與剖析，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和思維深刻性，學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。一起看看高中數(shù)學(xué)教案大全!歡迎查閱!
高中數(shù)學(xué)教案大全1
教學(xué)目標(biāo)
(1)使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題;
(2)使學(xué)生掌握組合數(shù)的計算公式、組合數(shù)的性質(zhì)用組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系;
(3)通過學(xué)習(xí)組合知識，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力;
(4)通過對排列、組合問題求解與剖析，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和思維深刻性，學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點難點分析
本小節(jié)的重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式，組合數(shù)的性質(zhì)。難點是解組合的應(yīng)用題。突破重點、難點的關(guān)鍵是對加法原理與乘法原理的掌握和應(yīng)用，并將這兩個原理的基本思想貫穿在解決組合應(yīng)用題當(dāng)中。
組合與組合數(shù)，也有上面類似的關(guān)系。從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取m個元素的一個組合。所有這些不同的組合的個數(shù)叫做組合數(shù)。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的一個集合(無序集)，相當(dāng)于一個組合，而這種集合的個數(shù)，就是相應(yīng)的組合數(shù)。
解排列組合應(yīng)用題時主要應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步.切記：排組分清(有序排列、無序組合)，加乘明確(分類為加、分步為乘).
三、教法設(shè)計
1.對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，建議把排列與組合的概念進(jìn)行對比的進(jìn)行學(xué)習(xí)，這樣有利于搞請這兩組概念的區(qū)別與聯(lián)系.
2.學(xué)生與老師可以合編一些排列組合問題，如“45人中選出5人當(dāng)班干部有多少種選法?”與“45人中選出5人分別擔(dān)任班長、副班長、體委、學(xué)委、生委有多少種選法?”這是兩個相近問題，同學(xué)們會根據(jù)自己身邊的實際可以編出各種各樣的具有特色的問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生辨認(rèn)哪個是排列問題，哪個是組合問題.這樣既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又在編題辨題中澄清了概念.
為了理解排列與組合的概念，建議大家學(xué)會畫排列與組合的樹圖.如，從a,b,c,d 4個元素中取出3個元素的排列樹圖與組合樹圖分別為：
排列樹圖
由排列樹圖得到，從a,b,c,d 取出3個元素的所有排列有24個，它們分別是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.
組合樹圖
由組合樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個元素的組合有4個，它們是(abc),(abd),(acd),(bcd).
從以上兩組樹圖清楚的告訴我們，排列樹圖是對稱的，組合圖式不是對稱的，之所以排列樹圖具有對稱性，是因為對于a,b,c,d四個字母哪一個都有在第一位的機會，哪一個都有在第二位的機會，哪一個都有在第三位的機會，而組合只考慮字母不考慮順序，為實現(xiàn)無順序的要求，我們可以限定a,b,c,d的順序是從前至后，固定了死順序等于無順序，這樣組合就有了自己的樹圖.
學(xué)會畫組合樹圖，不僅有利于理解排列與組合的概念，還有助于推導(dǎo)組合數(shù)的計算公式.
3.排列組合的應(yīng)用問題，教師應(yīng)從簡單問題問題入手，逐步到有一個附加條件的單純排列問題或組合問題，最后在設(shè)及排列與組合的綜合問題.
對于每一道題目，教師必須先讓學(xué)生獨立思考，在進(jìn)行全班討論，對于學(xué)生的每一種解法，教師要先讓學(xué)生判斷正誤，在給予點播.對于排列、組合應(yīng)用問題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問題解決問題的能力，在學(xué)生的多種解法基礎(chǔ)上教師要引導(dǎo)學(xué)生選擇方案，總結(jié)解題規(guī)律.對于學(xué)生解題中的常見錯誤，教師一定要講明道理，認(rèn)真分析錯誤原因，使學(xué)生在是非的判斷得以提高.
4.兩個性質(zhì)定理教學(xué)時，對定理1，可以用下例來說明：從4個不同的元素a，b，c，d里每次取出3個元素的組合及每次取出1個元素的組合分別是
這就說明從4個不同的元素里每次取出3個元素的組合與從4個元素里每次取出1個元素的組合是—一對應(yīng)的.
對定理2，可啟發(fā)學(xué)生從下面問題的討論得出.從n個不同元素 ， ，…， 里每次取出m個不同的元素( )，問：(1)可以組成多少個組合;(2)在這些組合里，有多少個是不含有 的; (3)在這些組合里，有多少個是含有 的;(4)從上面的結(jié)果，可以得出一個怎樣的公式.在此基礎(chǔ)上引出定理2.
對于 ，和 一樣，是一種規(guī)定.而學(xué)生常常誤以為是推算出來的，因此，教學(xué)時要講清楚.
教學(xué)設(shè)計示例
教學(xué)目標(biāo)
(1)使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題;
(2)使學(xué)生掌握組合數(shù)的計算公式;
(3)通過學(xué)習(xí)組合知識，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力;
教學(xué)重點難點
重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式;
難點是解組合的應(yīng)用題.
教學(xué)過程設(shè)計
(-)導(dǎo)入新課
(教師活動)提出下列思考問題，打出字幕.
[字幕]一條鐵路線上有6個火車站，(1)需準(zhǔn)備多少種不同的普通客車票?(2)有多少種不同票價的普通客車票?上面問題中，哪一問是排列問題?哪一問是組合問題?
(學(xué)生活動)討論并回答.
答案提示：(1)排列;(2)組合.
[評述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題;(2)是從6個火車站中任選兩個并成一組，兩站無順序關(guān)系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問題.這節(jié)課著重研究組合問題.
設(shè)計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設(shè)計的問題目的是從排列知識中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題.
(二)新課講授
[提出問題 創(chuàng)設(shè)情境]
(教師活動)指導(dǎo)學(xué)生帶著問題閱讀課文.
[字幕]1.排列的定義是什么?
2.舉例說明一個組合是什么?
3.一個組合與一個排列有何區(qū)別?
(學(xué)生活動)閱讀回答.
(教師活動)對照課文，逐一評析.
設(shè)計意圖：激活學(xué)生的思維，使其將所學(xué)的知識遷移過渡，并盡快適應(yīng)新的環(huán)境.
【歸納概括 建立新知】
(教師活動)承接上述問題的回答，展示下面知識.
[字幕]模型：從 個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合.如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合.
組合數(shù)：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數(shù)，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數(shù)為 .
[評述]區(qū)分一個排列與一個組合的關(guān)鍵是：該問題是否與順序有關(guān)，當(dāng)取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題;若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題.
(學(xué)生活動)傾聽、思索、記錄.
(教師活動)提出思考問題.
[投影] 與 的關(guān)系如何?
(師生活動)共同探討.求從 個不同元素中取出 個元素的排列數(shù) ，可分為以下兩步：
第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數(shù)為 ;
第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù)為 .
根據(jù)分步計數(shù)原理，得到
[字幕]公式1：
公式2：
(學(xué)生活動)驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票.
設(shè)計意圖：本著以認(rèn)識概念為起點，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學(xué)生思維層層被激活、逐漸深入到問題當(dāng)中去.
【例題示范 探求方法】
(教師活動)打出字幕，給出示范，指導(dǎo)訓(xùn)練.
[字幕]例1 列舉從4個元素 中任取2個元素的所有組合.
例2 計算：(1) ;(2) .
(學(xué)生活動)板演、示范.
(教師活動)講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題.
[字幕]例3 已知 ，求 的所有值.
(學(xué)生活動)思考分析.
解 首先，根據(jù)組合的定義，有
①
其次，由原不等式轉(zhuǎn)化為
即
解得 ②
綜合①、②，得 ，即
[點評]這是組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是公式的選擇.
設(shè)計意圖：例題教學(xué)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生鞏固知識，強化公式的應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力.
【反饋練習(xí) 學(xué)會應(yīng)用】
(教師活動)給出練習(xí)，學(xué)生解答，教師點評.
[課堂練習(xí)]課本P99練習(xí)第2，5，6題.
[補充練習(xí)]
[字幕]1.計算：
2.已知 ，求 .
(學(xué)生活動)板演、解答.
設(shè)計意圖：課堂教學(xué)體現(xiàn)以學(xué)生為本，讓全體學(xué)生參與訓(xùn)練，深刻揭示排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)、特征及應(yīng)用.
【點評矯正 交流提高】
(教師活動)依照學(xué)生的板演，給予指正并總結(jié).
補充練習(xí)答案：
1.解：原式：
2.解：由題設(shè)得
整理化簡得 ，
解之，得 或 (因 ，舍去)，
所以 ，所求
[字幕]小結(jié)：
1.前一個公式主要用于計算具體的組合數(shù)，而后一個公式則主要用于對含有字母的式子進(jìn)行化簡和論證.
2.在解含組合數(shù)的方程或不等式時，一定要注意組合數(shù)的上、下標(biāo)的限制條件.
(學(xué)生活動)交流討論，總結(jié)記錄.
設(shè)計意圖：由“實踐——認(rèn)識——一實踐”的認(rèn)識論，教學(xué)時抓住“學(xué)習(xí)—一練習(xí)——反饋———小結(jié)”這些環(huán)節(jié)，使教學(xué)目標(biāo)得以強化和落實.
(三)小結(jié)
(師生活動)共同小結(jié).
本節(jié)主要內(nèi)容有
1.組合概念.
2.組合數(shù)計算的兩個公式.
(四)布置作業(yè)
1.課本作業(yè)：習(xí)題10 3第1(1)、(4)，3題.
2.思考題：某學(xué)習(xí)小組有8個同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種學(xué)科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學(xué)各有多少人?
3.研究性題：
在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點(包括 )能組成多少個四邊形?能組成多少個三角形?
(五)課后點評
在學(xué)習(xí)了排列知識的基礎(chǔ)上，本節(jié)課引進(jìn)了組合概念，并推導(dǎo)出組合數(shù)公式，同時調(diào)控進(jìn)行訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
作業(yè)參考答案
2.解;設(shè)有男同學(xué) 人，則有女同學(xué) 人，依題意有 ，由此解得 或 或2.即男同學(xué)有5人或6人，女同學(xué)相應(yīng)為3人或2人.
3.能組成 (注意不能用 點為頂點)個四邊形， 個三角形.
探究活動
同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種?
解 設(shè)四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解.
解法一 可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即：
甲拿乙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.
甲拿丙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.
甲拿丁制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.
由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種.
解法二 可從利用排列數(shù)和組合數(shù)公式角度來考慮.這時還存在正向與逆向兩種思考途徑.
正向思考，即從滿足題設(shè)條件出發(fā)，分步完成分配.先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有 種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有 種，最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對方制作賀卡1種取法.根據(jù)乘法原理，賀卡的分配方法有 (種).
逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設(shè)條件的取法.不滿足題設(shè)條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡(此時即為4人均拿自己制作的賀卡).其取法分別為 1.故符合題設(shè)要求的取法共有 (種).
說明(1)對一類元素不太多而利用排列或組合計算公式計算比較復(fù)雜，且容易重復(fù)遺漏計算的排列組合問題，?？刹捎弥苯臃诸惡笥眉臃ㄔ磉M(jìn)行計算，如本例采用解法一的做法.
(2)設(shè)集合 ，如果S中元素的一個排列 滿足
高中數(shù)學(xué)教案大全2
一 教材分析
本節(jié)知識是必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系與判定三角形的全等也有密切聯(lián)系，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也時常有解三角形的問題，而且解三角形和三角函數(shù)聯(lián)系在高考當(dāng)中也時常考一些解答題。因此，正弦定理和余弦定理的知識非常重要。
根據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有知識水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)：
認(rèn)知目標(biāo)：在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，推證正弦定理及簡單運用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類問題。
能力目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和觀察與邏輯思維能力，能體會用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。
情感目標(biāo)：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價，調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，給學(xué)生成功的體驗，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
教學(xué)重點：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用。
教學(xué)難點：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。
二 教法
根據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點，為是更有效地突出重點，空破難點，以學(xué)業(yè)生的發(fā)展為本，遵照學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，本講遵照以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的指導(dǎo)思想， 采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究內(nèi)容，以生活實際為參照對象，讓學(xué)生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo)，并逐步得到深化。突破重點的手段：抓住學(xué)生情感的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學(xué)生大膽猜想，積極探索，以及及時地鼓勵，使他們知難而進(jìn)。另外，抓知識選擇的切入點，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點入手，教師在學(xué)生主體下給以適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。突破難點的方法：抓住學(xué)生的能力線聯(lián)系方法與技能使學(xué)生較易證明正弦定理，另外通過例題和練習(xí)來突破難點
三 學(xué)法：
指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，采取個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學(xué)知識應(yīng)用于對任意三角形性質(zhì)的探究。讓學(xué)生在問題情景中學(xué)習(xí)，觀察，類比，思考，探究，概括，動手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，增強學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成了實事求是的科學(xué)態(tài)度，增強了鍥而不舍的求學(xué)精神。
四 教學(xué)過程
第一：創(chuàng)設(shè)情景，大概用2分鐘
第二：實踐探究，形成概念，大約用25分鐘
第三：應(yīng)用概念，拓展反思，大約用13分鐘
(一)創(chuàng)設(shè)情境，布疑激趣
“興趣是的老師”，如果一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著成功了一半，本節(jié)課由一個實際問題引入，“工人師傅的一個三角形的模型壞了，只剩下如右圖所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB長為1m,想修好這個零件，但他不知道AC和BC的長度是多少好去截料，你能幫師傅這個忙嗎?”激發(fā)學(xué)生幫助別人的熱情和學(xué)習(xí)的興趣，從而進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)課題。
(二)探尋特例，提出猜想
1.激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟悉的特例(直角三角形)入手進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理。
2.那結(jié)論對任意三角形都適用嗎?指導(dǎo)學(xué)生分小組用刻度尺、量角器、計算器等工具對一般三角形進(jìn)行驗證。
3.讓學(xué)生總結(jié)實驗結(jié)果，得出猜想：
在三角形中，角與所對的邊滿足關(guān)系
這為下一步證明樹立信心，不斷的使學(xué)生對結(jié)論的認(rèn)識從感性逐步上升到理性。
(三)邏輯推理，證明猜想
1.強調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，需要嚴(yán)格的理論證明。
2.鼓勵學(xué)生通過作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明。
3.提示學(xué)生思考哪些知識能把長度和三角函數(shù)聯(lián)系起來，繼而思考向量分析層面，用數(shù)量積作為工具證明定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
4.思考是否還有其他的方法來證明正弦定理，布置課后練習(xí)，提示，做三角形的外接圓構(gòu)造直角三角形，或用坐標(biāo)法來證明
(四)歸納總結(jié)，簡單應(yīng)用
1.讓學(xué)生用文字?jǐn)⑹稣叶ɡ?，引?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理具有對稱和諧美，提升對數(shù)學(xué)美的享受。
2.正弦定理的內(nèi)容，討論可以解決哪幾類有關(guān)三角形的問題。
3.運用正弦定理求解本節(jié)課引入的三角形零件邊長的問題。自己參與實際問題的解決，能激發(fā)學(xué)生知識后用于實際的價值觀。
(五)講解例題，鞏固定理
1.例1。在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.
例1簡單，結(jié)果為解，如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對邊，都可利用正弦定理來解三角形。
2. 例2. 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.
例2較難，使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學(xué)生熟悉掌握已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形。完了把時間交給學(xué)生。
(六)課堂練習(xí)，提高鞏固
1.在△ABC中,已知下列條件,解三角形.
(1)A=45°,C=30°,c=10cm
(2)A=60°,B=45°,c=20cm
2. 在△ABC中,已知下列條件,解三角形.
(1)a=20cm,b=11cm,B=30°
(2)c=54cm,b=39cm,C=115°
學(xué)生板演，老師巡視，及時發(fā)現(xiàn)問題，并解答。
(七)小結(jié)反思，提高認(rèn)識
通過以上的研究過程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識和方法?你對此有何體會?
1.用向量證明了正弦定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
2.它表述了三角形的邊與對角的正弦值的關(guān)系。
3.定理證明分別從直角、銳角、鈍角出發(fā)，運用分類討論的思想。
(從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗、歸納等思維方法，最后得到了推導(dǎo)出正弦定理。我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。在強調(diào)研究性學(xué)習(xí)方法，注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動學(xué)生積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。)
(八)任務(wù)后延，自主探究
如果已知一個三角形的兩邊及其夾角，要求第三邊，怎么辦?發(fā)現(xiàn)正弦定理不適用了，那么自然過渡到下一節(jié)內(nèi)容，余弦定理。布置作業(yè)，預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容。
五 板書設(shè)計
板書設(shè)計可以讓學(xué)生一目了然本節(jié)課所學(xué)的知識，證明正弦定理的方法以及正弦定理可以解決的兩類問題。
高中數(shù)學(xué)教案大全3
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)了乘法原理、排列、排列數(shù)公式和加法原理以后的知識，學(xué)生已經(jīng)掌握了排列問題，并且對順序與排列的關(guān)系已經(jīng)有了一個比較清晰的認(rèn)識.因此關(guān)鍵是排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān).與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)是組合問題，順序?qū)ε帕?、組合問題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別，從定義上來說是簡單的，但在具體求解過程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關(guān)系，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序.教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會貫通.
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計
1.理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計算公式;
2.能正確認(rèn)識組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別
3.通過練習(xí)與訓(xùn)練體驗并初步掌握組合數(shù)的計算公式
三、教學(xué)重點及難點
組合概念的理解和組合數(shù)公式;組合與排列的區(qū)別.
四、教學(xué)用具準(zhǔn)備
多媒體設(shè)備
五、教學(xué)流程設(shè)計
六、教學(xué)過程設(shè)計
一、 復(fù)習(xí)引入
1.復(fù)習(xí)
我們在前幾節(jié)中學(xué)習(xí)了排列、排列數(shù)以及排列數(shù)公式
定 義
特 點
相同排列
公 式
排 列
以上由學(xué)生口答.
2.引入
那么請問：平面上有7個點，問以這7點中任何兩個為端點，構(gòu)成有向線段有幾條?
這是一個排列問題
若改為：構(gòu)成的線段有幾條?則為 ，
其實亦可用另一種方法解決，這就是組合.
二、學(xué)習(xí)新課
探究性質(zhì)
1. 組合定義： P16
一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.
【說明】：⑴不同元素; ⑵“只取不排”——無序性;
⑶相同組合：元素相同.
2.組合數(shù)定義：
從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù).用符號表示.
如：引入中的例子可表示為
== 這是為什么呢?
因為 構(gòu)成有向線段的問題可分成2步來完成：
第一步，先從7個點中選2個點出來，共有種選法;
第二步，將選出的2個點做一個排列，有種次序;
根據(jù)乘法原理，共有·= 所以
·判斷何為排列、組合問題： 利用書本P16～P17例題請學(xué)生判斷
·這個公式叫組合數(shù)公式
3.組合數(shù)公式：
如= =
用計算器求 、 、 、
可發(fā)現(xiàn)= =
由此猜想:
用實際例子說明：比如要從50人中挑選4個出來參加迎春長跑的選擇方案有，就相當(dāng)于挑46個人不參加長跑的選擇方案一樣.“取法”與“剩法”是“一 一對應(yīng)”的.
證明：∵
又 ，∴
當(dāng)m=n時，
此性質(zhì)作用：當(dāng)時，計算可變?yōu)橛嬎?，能夠使運算簡化.
4. 組合數(shù)性質(zhì)：
1、
2、=
可解釋為：從這n 1個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素，一類不含有.含有的組合是從這n個元素中取出m (1個元素與組成的，共有個;不含有的組合是從這n個元素中取出m個元素組成的，共有個.根據(jù)加法原理，可以得到組合數(shù)的另一個性質(zhì).在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想.
證明：
得證.
【說明】1( 公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與高的相同的一個組合數(shù).
2( 此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運算.在今后學(xué)習(xí)“二項式定理”時，我們會看到它的主要應(yīng)用.
2.例題分析
例1、(1)，求x
(2)
(3)
略解：(1)
(2)
(3)
例2、應(yīng)用題：
有15本不同的書，其中6本是數(shù)學(xué)書，問：
分給甲4本，且都不是數(shù)學(xué)書;
略解：(1)
3.問題拓展
例3.題設(shè)同例2：
(2)平均分給3人;
(3)若平均分為3份;
(4)甲分2本，乙分7本，丙分6本;
(5)1人2本，1人7本，1人6本.
略解：(2) (3)
(4) (5)
三、課堂小結(jié)
指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序.教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會貫通.
能列舉出某種方法時，讓學(xué)生通過交換元素位置的辦法加以鑒別.
學(xué)生易于辨別組合、全排列問題，而排列問題就是先組合后全排列.在求解排列、組合問題時，可引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來，選出元素后再去考慮是否要對元素進(jìn)行排隊，即第一步僅從組合的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要，是組合問題;否則是排列問題.
排列、組合問題大都來源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程，用數(shù)學(xué)的原理和語言加以表述.也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗、具體情景的出發(fā)，正確領(lǐng)會問題的實質(zhì)，抽象出“按部就班”的處理問題的過程.據(jù)觀察，有些同學(xué)之所以學(xué)習(xí)中感到抽象，不知如何思考，并不是因為數(shù)學(xué)知識跟不上，而是因為平時做事、考慮問題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法(很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法).要解決這個問題，需要師生一道在分析問題時要根據(jù)實際情況，怎么做事就怎么分析，若能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ?，模擬做事的過程，則更能說明問題.久而久之，學(xué)生的邏輯思維能力將會大大提高.
四、作業(yè)布置
(略)
七、教學(xué)設(shè)計說明
在學(xué)習(xí)過程中，從排列問題引入，隨即自然地過渡到組合問題.由此讓學(xué)生對于排列與組合兩者的異同有深刻理解，并能自如地進(jìn)行判斷.
本節(jié)課在教學(xué)技術(shù)上通過多媒體課件大大縮短了教師板書抄題的時間，讓學(xué)生能夠更加連貫的思考以及探索問題.
在例題的設(shè)計上從最基本的組合數(shù)公式的利用，到簡單的應(yīng)用題，再到組合中較難的分組分配以及平均不平均分配問題的訓(xùn)練，由淺入深，層層遞進(jìn)，以積極發(fā)揮課堂教學(xué)的基礎(chǔ)型和研究型功能，培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)性學(xué)力和發(fā)展性學(xué)力.
在課堂教學(xué)中教師遵循“以學(xué)生為主體”的思想，鼓勵學(xué)生善于觀察和發(fā)現(xiàn);鼓勵學(xué)生積極思考和探究;鼓勵學(xué)生大膽猜想，努力營造一個民主和諧、平等交流的課堂氛圍，采取對話式教學(xué)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，使學(xué)生開闊思維空間，讓學(xué)生積極參與教學(xué)活動，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.
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